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Mathematik / Informatik
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Zahlensysteme

Gliederung:

Einleitung    
Additionssysteme    
Positionssysteme    
  Dezimalsystem  
  Dualsystem  
    Umschreiben einer Dezimalzahl in eine Dualzahl
    Rechnen mit Dualzahlen
  Hexadezimalsystem  
Übungsaufgaben    
Literaturangabe    

Einleitung: Die ersten Zahlendarstellungen treten auf Kerbhölzern auf, die besonders zum Notieren von Schulden benutzt wurden. Heute noch bedient man sich bei langen Zählungen der Strichmethode, die wie folgt aussehen kann: |||| |. Nach dieser Methode zählte auch Robinson Crusoe die Tage. Wenn jedoch die Zahlen größer werden geht bei dieser Methode die Übersicht verloren. Deshalb faßt man mehrere Zeichen zu einer Gruppe zusammen. So ging man auch beim Erfinden (Bilden) neuer Zahlen vor. Dabei wird aber nicht für jede neue Zahl auch ein neues Wort und eine neue Ziffer eingeführt. Wörter und Ziffern größerer Zahlen werden aus denen kleinerer zahlen zusammengesetzt. Ein Beispiel: Die Zahl 47, die Ziffer für diese Zahl besteht aus den Ziffern der beiden Zahlen „4" und „7" und auch das Wort für diese Zahl besteht aus denen von „Vier" und „Sieben" und wird zur besseren Unterscheidung mit der Silbe -zig ergänzt und ergibt „Siebenundvierzig". Je nach Art der Zusammenfassung unterscheidet man in Additions- und Positionssysteme.

Additionssysteme:

Additionssysteme sind Zahlensysteme, bei denen der Wert einer Zahl durch addieren bzw. subtrahieren der verschiedenen Ziffern dargestellt wird. Das bekannteste Additionssystem ist das römische Zahlensystem, welches folgendermaßen aufgebaut ist: Grundzeichen: I (=1); X (=10); C (=100); M (= 1000) Zehn Grundzeichen werden zu dem nächst höherem Grundzeichen zusammengefaßt. Hilfszeichen: V (=5); L (= 50); D (=500); Steht ein größeres Zeichen vor einen kleinerem so werden beide miteinander addiert. Dies ist z.B. bei der Zahl 115 der Fall. Sie wird durch CXV dargestellt. Steht jedoch ein kleineres Zeichen vor einem größerem so wird das kleinere von dem größerem subtrahiert. Z.B. wird die Zahl 4 so dargestellt: IV.
Zwar ist es weniger gebräuchlich diese Zahl auch durch IIII darzustellen, doch ermöglicht diese Schreibweise mitunter ein einfacheres Rechnen mit römischen Zahlen. Wichtig bei der Darstellung von Zahlen durch Subtraktion ist es, daß keine zwei Grundzeichen und keine Hilfszeichen vorangestellt werden dürfen. Da L z.B. ein Hilfszeichen ist wird die Zahl 950 durch CML und nicht durch LM dargestellt.
Die Römer haben zu ihrer Zeit den größten Teil der damals bekannten Welt erobert, doch für die Mathematik haben sie sich wenig interessiert. Um überhaupt mit ihrem Zahlensystem rechnen zu können, mußten sie ihre Finger oder ein Rechenbrett, den Abakus verwenden. Dieses besteht aus Metall und besaß zwei Reihen von Rillen, in denen sich kleine Kugeln befinden. Die Kugel in der oberen Reihe bezeichnen den Wert "Fünf" und die der unteren den Wert "Eins". Um eine Zahl anzugeben werden die Kugeln an die Mitte herangeschoben. Die dargestellte Zahl ist in unserem Zahlsystem: 0061192=61192.

Beim Addieren wurden die zu addierenden Kugel zu den schon vorhandenen kugeln in die Mitte geschoben. Beim Subtrahieren hingegen schob man die Kugel zurück. Jeweils fünf einer Rille werden dabei zu einem Fünfer zusammengefaßt.

Das Multiplizieren im röm. Zahlensystem ist eigentlich relativ einfach. Die Römer zerlegten größere Zahlen in kleinere und multiplizierten die Ziffern der einen Zahl mit den Ziffern der anderen Zahl. Zur näheren Erläuterung hier ein Beispiel: Wir wollen 18x15 rechnen.
Im römischen Zahlensystem multipliziert man wie folgt:

            X V I I I   ( 18 )    
x                 X V   ( 15 )    

                  X V   ( 5 x 3 = 15 )  
            X X V       ( 5 x 5 = 25 )  
          L             ( 5 x 10 = 50 )  
    X X X               ( 10 x 3 = 30 )  
  L                     ( 10 x 5 = 50 )  
C                       ( 10 x 10 = 100 )  

C L L X X X X X X V V       => zusammengefasst: CCLXX

Positionssysteme:

Wichtiger als das Additionssystem ist das Positionssystem. Das erste dieser Systeme, zu denen auch unser Zahlensystem gehört, benutzten zuerst die Babylonier. Sie ersetzten damit ihr älteres Zahlensystem um etwa 2000 v. Chr., da das Positionssystem entscheidende Vorteile hat. Die Ziffern lassen sich schnell und bequem schreiben, es können beliebig große Zahlen geschrieben werden ohne dabei die Übersicht zu verlieren. Es kann effektiver gerechnet werden. Das Merkmal dieses Systems ist, daß jede Zahl in Summen zerlegbar ist, deren Summanden Vielfache von Potenzen der Basis sind.

Dezimalsystem:

Dieses Zahlsystem wird auch dekadisches Positionssystem genannt. Die Basis dieses Systems ist die Dezimalzahl 10. Demzufolge gibt es zehn Zahlzeichen, die Ziffern 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, mit denen man durch Zusammensetzen jede beliebige Zahl darstellen kann. So kann man jede Zahl in Summen zerlegen, deren Summanden Vielfache von Potenzen der Basis sind. Die Stellung (Position) der Ziffer innerhalb der Zahl gibt hierbei den Exponenten an. Man zählt die Stellung von rechts ab und beginnt mit dem Exponenten null, d.h. die erste Ziffer ist: a x 10, die zweite Ziffer ist: a x 101, die Dritte: a x 102 usw. Ein Beispiel: Die Zahl „312" kann man folgendermaßen zerlegen: 3 x l0^2 + l x l0^1 + 2 x l0^0. Im Gegensatz dazu würde man im Additionssystem der römischen Zahlen die Ziffern addieren und den Wert 6 aus 3 + 1 + 2 erhalten. Diese Zahldarstellung möchten wir mit Hilfe der Grafik verdeutlichen.

102

101

100

entsprechende Dezimalzahl
Hunderter Zehner Einer

100

10

1

   

1

1

   

2

2

   

3

3

...

...

...

...

 

1

5

15

1

2

3

123

3

0

0

300

Dualsystem:

Besondere technische Bedeutung hat das Dualsystem. Die Grundlage dieses Systems bilden die Potenzen der Dezimalzahl zwei, dadurch gibt es auch nur zwei Zahlzeichen, die Ziffern 0 und l (wobei man für „l" auch „L" schreiben kann). Da alle heutigen Computer mit elektrischem Strom arbeiten, wäre es zwar möglich jede Zahl durch die Stärke des elektrischen Stromes darzustellen. Der Dezimalzahl 27 könnte also eine Stromstärke von 27mA (Milliampère) entsprechen. Dies ist technisch aufwendig und ungenau. Deshalb bedient man sich des Dualsystems, indem man die Ziffern l für Strom und 0 für kein Strom benutzt. So läßt sich jede Dezimalzahl eindeutig als Dualzahl wiedergeben. Um auch Buchstaben und andere Zeichen darzustellen gibt es den ASCII-Code (American Standard Code for Information Interchange). Dieser ordnet jedem Zeichen eine Dezimalzahl zu (siehe Tafelwerk). Dezimalzahlen kann man in Dualzahlen nach folgendem Schema umschreiben:


Beispiel: A => 65 B =>66 C => 67 a => 97 b => 98 c => 99 ? => 63

Umschreiben einer Dezimalzahl in eine Dualzahl:

69

: 2 =

34

Rest: 1

34

: 2 =

17

Rest: 0

17

: 2 =

8

Rest: 1

8

: 2 =

4

Rest: 0

4

: 2 =

2

Rest: 0

2

: 2 =

1

Rest: 0

1

: 2 =

0

Rest: 1

0

: 2 =

0

Rest: 0


Probe:

0

1

0

0

0

1

0

1

 
   

 

 
 

0 x 27

1 x 26

0 x 25

0 x 24

0 x 23

1 x 22

0 x 21

1 x 20

 
   
 

0 +

64 +

0 +

0 +

0 +

4 +

0 +

1

= 69

Ergebnis: 01000101

Beim Umschreiben in eine Dualzahl dividiert man die Dezimalzahl durch die Basis der Dualzahlen, die 2. Hierbei schreibt man immer den Rest auf, da dieser später die Dualzahl ergibt. Bei den Dezimalzahlen des ASCII-Codes kann nicht mehr als acht mal dividieren, deshalb haben solche Dualzahlen nicht mehr als acht Stellen und auch der Computer arbeitet auch mit nicht mehr als acht Stellen (8Bit = l Byte). Um aus dem Rest nun die Dualzahl zu bilden wird der letzte Rest die erste Stelle der Dualzahl und der erste Rest die letzte Stelle der Dualzahl. Zur Probe kann man die erhaltene Dualzahl als Summe aus Vielfachen der Potenzen ihrer Basis schreiben. Das Ergebnis dieser Summe ist die Dezimalzahl, die man dividiert hat.

23

22

21

20

entsprechende Dezimalzahl
Achter Vierer Zweier Einer

8

4

2

1

     

1

1

   

1

0

2

   

1

1

3

 

1

0

0

4

 

1

0

1

5

 

1

1

0

6

 

1

1

1

7

1

0

0

0

8

1

0

0

1

9

1

0

1

0

10

Rechnen mit Dualzahlen:
Für das Rechnen mit Dualzahlen gelten bestimmte Regeln, ähnlich wie für das Rechnen im Dezimalsystem. Wird im Dezimalsystem die Zahl neun überschritten so wird ein Übertrag gebildet. Im Dualsystem geschieht dies schon beim Überschreiten der Zahl eins. Für das Addieren gelten bestimmte Grundregeln:

Addieren: 0 + 0 = 0 ; l + 0 = l ; l + l = 10
Mit diesen Regeln kann man jede Additionsaufgabe lösen. Dieses wird folgendes Beispiel zeigen:

  101

+

110

  1011

Ähnliche Regeln gibt es auch für das Multiplizieren:
Multiplikation: 1x1=1; 0 x1= 0; 0 x 0 = 0; Eine Beispielaufgabe hierzu wäre:

1 1   x   1 0 1

1 1            
  0 0          
    1 1        

1 1 1 1        

Das Subtrahieren könnte man ebenfalls solche Rechengesetze herleiten. Diese wären: 0 - 1 = 1 gemerkt l; 1 - 0 = 1 gemerkt 0; 0 - 0 = 0 gemerkt 0; 1 - 1 = 0 gemerkt 0. Die gemerkte Zahl wird zur nächsten Stelle des Subtrahenden addiert. Ein Beispiel wird es zeigen:

  1010

-

1001

 

1

Die Division der Dualzahlen erfolgt im wesentlichen ähnlich der, der Dezimalzahlen. Der Vorteil besteht darin, daß man nicht suchen braucht, wie oft der Divisor im Dividenten steckt, sondern nur entscheiden muß, ob der Divisor im Dividenden steckt oder nicht. Besser läßt sich dies an einem Beispiel zeigen.

1 0 0 1 0   :   1 1 0   =   1 1
                        - 1 0 1

                      0 0 1 1 0
                        - 1 1 0

                              0

 

Hexadezimalsystem:

Dieses System ist ein weiteres Beispiel für ein Positionssystem. Wie die Vorsilbe manchem verraten mag ist die Basis dieses Systems die Dezimalzahl 16. Dem zufolge müssen auch 16 Zahlzeichen vorhanden sein. Diese Zahlzeichen wären: 0 ; l; 2 ; 3 ; 4 ;5; 6; 7; 8; 9 ; A; B; C; D; E und F. Da das Hexadezimalsystem an sich kaum gebraucht wird, wollen wir nur die Darstellung der Hexadezimalzahlen als Summen aus Vielfachen von Potenzen der Basis 16 erläutern.

162

161

160

entsprechende Dezimalzahl
256er Sechzehner Einer

256

16

1

   

1

1

 

 

2

2

 

 

3

3

 

 

4

4

 

 

A

10

 

 

B

11

 

 

C

12

 

 

D

13

...

...

...

...

 

1

0

16

 

1

B

27

 

4

C

76

 

A

D

173

1

E

E

494

2

D

F

735

 

Übungsaufgaben:

Schreibe die Dezimalzahl als römische Zahl:
l. 45 (=XLV) 2. 1950 (=1950) 3. 735 (=DCCXXXV) 4. 28 (=XXVm) 5. 3333 (=MMMCCCXXXffl)

Schreibe die römische Zahl als Dezimalzahl:
1. .XVII (=7) 2.DC (=9) 3. MDCCLXVIII (=1768) 4. MXMVII (=1997) 5. CXXIII (=123)

Multipliziere:
l. V x III (= VVV =XV) 2. X x VIII (=XXXXXXXX=LXXX)

Schreibe die Dezimalzahl als Dualzahl:
l. 18 (=10010) 2. 5 (=101) 3. F (=01000110) 4. f (=01100110) 5. 15 (=1111)

Schreibe die Dualzahl als Dezimalzahl:
1. 10 (=2) 2. 10100 (=20) 3. 1110 (=14) 4. 1000 (=8) 5. 110110 (=54)

Addiere:
1001101 + 110110 (=10000011)

Subtrahiere:
1001101 - 110110 (=10111)

Multipliziere:
1001101 x 101 (= 10000001)

Dividiere:
1. 1001 : 11 (=11) 2. 1110: 111 (=10)

Schreibe die Hexadezimalzahl als Dualzahl:
l. A (=10) 2. 10 (=16) 3. AB (=171) 4. 1A (=26) 5. AOO (=2560) 6. 16 (=22) 7.C8(=200) 8. AD (=173)

Literaturangabe:

Mathemitik für die Praxis. Kurt Schröder. 2. Auflage. DVW-Verlag. Berlin. 1965.

Kleine Enzyklopädie Mathematik. Bibliographisches Institut Leipzig. 1968.

Lexikon der Mathematik. Walter Gillert. Bibliograph. Inst. Leipzig. 1977.

Arithmetik. Hans-Günther Friedemann. Volk und Wissen. Berlin. 1990.

Mathematik. E.H. und H.J. Highland. Was ist Was. Tessloff Verlag. Nürnberg. 1969.

Computer und Roboter. Korndörfer und Scharff. Was ist Was. Tessloff Verlag. Nürnberg. 1983.

 

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