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Physik
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Die Gravitationskonstante (Die Gravitationsfeldstärke )

 

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Theoretischer Teil

2.1 Newtons Gravitationsgesetz
2.2 Die Gravitationskonstante
2.3 Das Gravitationsfeld und die Gravitationsfeldstärke
2.4 Der Zusammenhang von und

3. Praktischer Teil
3.1 Versuch zur Bestimmung von
3.1.1 Versuchsbeschreibung
3.1.1.1 Die Gravitationsdrehwaage
3.1.1.2 Der IR-Positionsdetektor
3.1.1.3 Herleitung der Berechnung von
3.1.2 Versuchsprotokoll
3.1.2.1 Aufbau
3.1.2.2 Ergebnisse der Messung
3.1.3 Mögliche Fehlerquellen
3.2 Versuch zur Bestimmung von g

4. Sonstiges
4.1 Sir Isaac Newton
Literaturverzeichnis

 

1. Einleitung

Der Mond bewegt sich um die Erde und die Erde, sowie alle anderen Planeten unseres Sonnensystems, um die Sonne. Dieses Weltbild ergab sich aus der Jahrhunderte langen Beobachtung des Himmels durch den Menschen. Doch was bringt die Planeten in unserem Sonnensystem dazu, sich auf ihren Bahnen um die Sonne zu bewegen? Welche Kräfte halten sie auf ihren Bahnen?
Der Münchener Physiker Johannes Kepler lieferte eine Beschreibung dieser Bewegungen als er erkannte, dass alle Planeten den selben Gesetzen folgen und fasste sie in seinen drei Keplerschen Gesetzen zusammen.
"Auf den Gedanken, dass zwischen den Himmelskörpern eine Anziehungskraft existieren könnte, kam zuerst Isaac Newton, der Anfang des 17. Jahrhundert in England lebte. Newton mutmaßte weiter: wenn die Erde den Mond anzieht, könnte sie nicht auch andere, irdische Körper anziehen?
Man erzählt, dass der 23 jährige Newton eines Abends auf einer Gartenbank gesessen und den Vollmond angeschaut habe. Dabei löste sich vor seinen Augen ein Apfel vom Baum und fiel zu Boden. Warum fällt der Apfel herunter, dachte Newton. Und dabei kam ihm die Vermutung: Wird er vielleicht von der gleichen Kraft zur Erde gezogen, die auch den Mond auf seiner Bahn hält. Newton überlegte: Wenn man einen Apfel einfach loslässt, so fällt er geradewegs herab. Wirft man ihn dagegen waagerecht weg, so fällt er in einem Bogen. Je schneller man wirft, desto weiter fliegt der Apfel, bevor er auf die Erde auftrifft. Was geschähe nun, wenn man ihn so schnell werfen könnte, dass er die Erde beim herabfallen nicht mehr erreicht? Die Erde zöge ihn fortwährend zu sich hin, und so würde der Apfel vielleicht ständig um sie herum fallen. Er würde die Erde umkreisen wie der Mond."(5)
So brachte Newton die allgemeine physikalische Erklärung und führte die Planetenbewegung auf eine Kraft zurück, die von der Sonne auf die Planeten, sowie von diesen untereinander ausgeübt wird. Er beschrieb diese Kraft als Anziehungskraft, die in Richtung der Verbindungslinie Sonne-Planet auf die Sonne gerichtet ist. Diese Kraft wird Zentralkraft genannt, da sie immer auf einen festen Punkt, ein Zentrum gerichtet ist.
Newton vermutete auch, dass alle Körper aufeinander Kräfte ausüben, dessen Beträge proportional zur Masse und umgekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstandes sind. Er nannte diese Kraft Gravitationskraft oder Massenanziehung und stellte mit der Formel

das Gravitationsgesetz auf.
Da die Gravitationskraft zwischen den Körpern wirkt, ohne dass es eine materielle Verbindung zwischen den sich anziehenden Körpern gibt und die Schwerkraft somit auch im leeren Raum wirkt, kann man jedem Raumpunkt in der Nähe von Massen eine physikalische Größe zuordnen. Der Raum in der Umgebung eines Körpers ist somit ein Feld, welches als Gravitationsfeld bezeichnet wird, in dem auf einen Probekörper an jedem Raumpunkt eine Kraft ausgeübt wird, die als Beschleunigung beobachtet werden kann.

 

2. Theoretischer Teil

2.1 Newtons Gravitationsgesetz

Man kann wohl ohne Zweifel sagen, dass man, wenn man sich mit der Physik beschäftigt, nicht an dem Namen Sir Isaac Newton vorbeikommt. Mit seinen drei sogenannten Newton'schen Axiomen, legte er die Grundsteine für die klassische Mechanik.
Das Gravitationsgesetz ist sozusagen das 4. Grundgesetz der Mechanik. Es besagt, das die Kraft, die zwei Körper aufeinander ausüben, sich proportonial zum Produkt der Massen der Körper und umgekehrt proportional zu ihrem Abstand, wobei man alle Körper als Massenpunkte betrachtet, verhält. Die dazugehörige Gleichung lautet wie folgt:

Hierbei bezeichnet F die Gravitationskraft, r den Abstand der Massenpunkte und m1 und m2 den Betrag der Massen der Körper; des weiteren taucht noch der Faktor auf. Er ist der Proportionalitätsfaktor und wird als Gravitationskonstante bezeichnet, welche allerdings in diesem Kapitel keine Rolle spielt. Auf sie wird in den Kapiteln 2.2, 2.4 und 3.1 noch ausführlich eingegangen.

Zur Herleitung des Gesetzes zieht man als Beispiel die annähernde Kreisbahn herbei, auf der sich ein beliebiger Planet unseres Sonnensystems um die Sonne bewegt. Genaugenommen bewegen sich die Planeten, laut dem 1. Keplerschen Gesetz, auf Ellipsenbahnen um die Sonne, allerdings gehen wir davon aus, dass es sich um Kreisbahnen handelt, um die Rechnung so einfach wie möglich zu halten. Außerdem gehen wir davon aus, dass sich alle Planeten mit konstanter Winkelgeschwindigkeit bewegen.

Um einen Planeten mit der Masse mPL in seiner Kreisbahn zu halten muss auf ihn eine Zentralbeschleunigung a in Richtung zum Kreismittelpunkt wirken, die sich mit

berechnet. Die Ursache für diese Beschleunigung ist die Gravitationskraft F, somit ergibt sich nach dem 2. Newton-Axiom:

Die Bahngeschwindigkeit v lässt sich mit Hilfe der Kreisbahnlänge und der Umlaufzeit T in der Gleichung

ausdrücken, somit folgt:

An dieser Stelle kommt das 3. Keplersche Gesetz zum tragen. Es besagt, dass die Quadrate der Umlaufzeiten T1 und T2 zweier Planeten sich wie die dritten Potenzen ihrer großen Halbachsen a1 und a2 der Bahnellipsen verhalten, wobei a1 und a2 in unserer Vereinfachung den Bahnradien r1 und r2 entsprechen. Also folgt daraus:

Das bedeutet für unser Problem, dass man wie folgt in Abhängigkeit von r ausdrücken kann:

Die Konstante c1 hängt von der Sonnenmasse ab und ist nicht nur für jeden Planeten in unserem Sonnensystem, sondern für jeden Körper, der die Sonne umkreist, gleich.
Somit gilt:

Da konstant ist, steht fest, das die Gravitationskraft direkt zur Masse des Planeten, und umgekehrt proportional zum Quadrat dessen Abstand zur Sonne ist.

Laut dem 3. Newton-Axiom, "actio=reactio", muss der Planet auf die Sonne ebenfalls eine Kraft gleichen Betrages in entgegengesetzter Richtung ausüben, für die analog zu oben genannten Formel

gilt, wobei mSo die Sonnenmasse ist und die hier auftauchende Konstante c2 nicht wie c1 von der Sonnenmasse, sondern der jeweiligen Planetenmasse abhängt. Damit ist auch bewiesen, dass die Gravitationskraft direkt proportional zur Sonnenmasse ist.

Fasst man die gewonnenen Erkenntnisse zusammen, ergibt sich:

In der Verallgemeinerung ersetzt man mSo durch m1 und mPl durch m2, da die Gravitationskraft nicht nur zwischen der Sonne und den Planeten, sondern zwischen allen Körpern wirkt. Dadurch erhält man:

Um diese Abhängigkeit in einer Gleichung darzustellen, muss man einen Proportionalitätsfaktor hinzufügen, der in diesem fall die oben angesprochene Gravitationskonstante ist. Schließlich erhält man:

 

2.2 Die Gravitationskonstante

Als Newton sein Gravitationsgesetz aufstellte, wusste er zwar, dass es eine Gravitationskonstante geben muss, konnte diese allerdings noch nicht berechnen, da es dafür notwendig ist, die Gravitationskraft zu messen, die zwei Körper bekannter Massen aufeinander ausüben. Da es sich hierbei um sehr kleine Kräfte handelt, gestaltet sich die messung allerdings als äußerst schwierig.
Im Prinzip gibt die Gravitationskonstante an, welche Kraft zwei Massen des Betrages 1kg in einer Entfernung von 1m aufeinander ausüben.

Die erste Bestimmung der Gravitationskonstante erfolgte im Im jahre 1798 durch den Physiker Henry Cavendish. Er konstruierte zur Messung der Gravitationskräfte die Gravitationsdrehwaage. Das Prinzip, dass er dabei verwendete wird in Kapitel 3.1 noch ausführlich beschrieben werden.
Das Cavendish Prinzip wird heute auch noch angewandt. Der aktuellste Wert, der zu finden war, ist aus dem Jahre 1998 und beträgt

bei einer Genauigkeit von (4)

 

2.3 Das Gravitationsfeld und die Gravitationsfeldstärke

Körper üben aufeinander Gravitationskräfte aus. Stellt man sich nun eine Kugel einer bestimmten Masse vor, die sich im leeren Raum befindet, so übt sie - nach dem allgemeinen Verständnis - eine Kraft auf alle sich in ihrer Umgebung befindlichen Körper aus, ohne das es eine materielle Verbindung gibt. Die Kraft wirkt durch den leeren Raum hindurch. Das bedeutet, dass sie an jedem Punkt im Raum dieser Umgebung ausgeübt wird, und zum Mittelpunkt der Kugel hin gerichtet ist. Nach Definition wird ein solcher Raum, in dem in jedem Punkt ein bestimmter Wert zugeordnet werden kann, als Feld bezeichnet. Der Raum in der Umgebung der Kugel ist also ein Gravitationsfeld, das durch die bloße Anwesenheit der Masse der Kugel erzeugt wird. Eine solche felderzeugende Kugel ist auch die Erde. Auf alles was sich innerhalb ihres Feldes befindet, wird eine Gravitationskraft ausgeübt.

Um die quantitative Beschreibung des Gravitationsfeldes zu liefern, dient die Gravitationsfeldstärke. Bringt man einen Probekörper an einen bestimmten Punkt des Feldes und bildet den Quotienten aus der auf ihn wirkenden Kraft und seiner Masse, dann erhält man einen Wert, der erstens unabhängig von der Masse des Probekörpers und zweitens kennzeichnend für diesen einen Raumpunkt innerhalb des Feldes ist.(5)
Die Gravitationsfeldstärke ist also

Die Einheit ist

"1N/kg ist diejenige Feldstärke, bei der auf die Masse 1kg die Kraft 1N ausgeübt wird."(6)

Durch die Gravitationsfeldstärke wird jedem Punkt des Gravitationsfeldes ein Vektor zugeordnet, dessen Betrag gleich dem Betrag der Gravitationsfeldstärke und dessen Richtung gleich der Richtung der Gravitationskraft ist. Die Feldstärke ergibt sich direkt durch aus dem Gravitationsgesetz:

Wobei M der Masse der Kugel und r dem Abstand zu ihrem Mittelpunkt entspräche.
Auf den Zusammenhang zwischen der Gravitationskonstante und der Gravitationsfeldstärke wird ausführlich in 2.4 eingegangen.

Das Gravitationsfeld lässt sich, wie auch das magnetische oder das elektrische Feld, durch ein Feldlinienmodell veranschaulichen. Die Feldlinien sind gedachte Linien, die durch ihren Verlauf die Richtung und durch ihre Dichte den Betrag der Kraft in den verschiedenen Raumpunkten des Feldes anzeigen. Bei einem kugelförmigen Felderzeuger ist die Kraft zum Kugelmittelpunkt gerichtet und ihr Betrag nimmt ab, je weiter man sich von ihm entfernt. Bei einem solchen Feld sieht man also im Modell, dass die Feldlinien radial auf die Kugel gerichtet sind und die Dichte der Feldlinien bei steigender Entfernung zum Erzeuger abnimmt. Somit wird das Radialfeld eines Kugelförmigen Körpers veranschaulicht.
Da die Erde auch ein kugelförmiger Felderzeuger ist und somit ein Radialfeld aufweist, ist die Feldliniendichte in Erdnähe annähernd konstant, da hier die Feldlinien fast Parallel zueinander verlaufen. Man kann also die Gravitationsfeld auf der Erdoberfläche als homogen betrachten, das heißt, die Feldstärke hat in diesem Raum überall den gleichen Betrag.

Aus der Gravitationsfeldstärke folgt, dass für einen Körper der Masse m an einem Ort der Feldstärke gilt.
Aus dieser Kraft resultiert eine Fallbeschleunigung a. Nach dem dritten Newton'schen Axiom: F=ma. Somit kann man die Gravitationsfeldstärke mit der Beschleunigung gleichsetzen, die jeder Körper an dem selben Raumpunkt hat, und zwar unabhängig von seiner Masse und Beschaffenheit. Experimentell wurde auf der Erde in Meereshöhe die Gravitationsfeldstärke g= 9,80665 N/kg bestimmt, wobei sie am Äquator etwas kleiner und an den Polen etwas größer ist, da die Form der Erde nur annähernd die einer Kugel entspricht und somit auf der Erdoberfläche verschieden große Entfernungen zum Erdmittelpunkt auftreten. Charakteristisch für das Gravitationsfeld ist somit, dass aufgrund des homogenen Feldes alle Körper die gleiche Beschleunigung von der Erde erfahren. Unabhängig von der Größe ihrer Massen würden unter vereinfachten Bedingungen, wie das Weglassen des Luftwiderstandes, alle Körper mit gleicher Geschwindigkeit auf die Erde fallen.

Heutzutage bereitet den Physikern der Gedanke, dass Massen ohne das Vorhandensein jeglicher Vermittlung Kräfte aufeinander ausüben, Unbehagen. Allerdings konnte bis heute noch keine ausreichende Erklärung für diese Art der Fernwirkung geliefert werden. Wenn die Kraft sich mit endlicher, das heißt zeitlich messbarer Geschwindigkeit ausbreitet, kann man davon ausgehen das sie im Raum von Punkt zu Punkt übertragen wird, also eine Nahwirkung vorliegt wie das bei magnetischen und elektrischen Feldern der Fall ist. Trotzdem geht man, obwohl momentan noch keine zufriedenstellenden Beweise erbracht wurden, davon aus, das auch es sich auch bei der Kraftübertragung im Gravitationsfeld um eine Nahwirkung handelt.

 

2.4 Der Zusammenhang von und

Wenn man die Gravitationskraft aus dem Gravitationsgesetz

und der Gewichtskraft aus dem Grundgesetz betrachtet, erhält man durch Gleichsetzen für :

Alle vorhandenen Größen sind:
m1 ... Betrag der Masse des Zentralkörpers
m2 ... Betrag der Masse des Probekörpers
r ... Abstand der beiden Massen M und m
... Gravitationsfeldstärke/Fallbeschleunigung
... Gravitationskonstante

Aus dieser Formel wird sehr deutlich, dass die Fallbeschleunigung desto größer ist, je größer die anziehende Masse ist. Und man sieht auch, das sie desto kleiner wird, je weiter man sich von der Masse entfernt. Für die wirkende Kraft geht dieser Zusammenhang auch aus Newtons Gravitationsgesetz hervor, bei der Fallbeschleunigung ist die Masse des im Feld befindlichen Probekörpers völlig unerheblich, da sie einfach aus der Formel verschwindet.

Um zu berechnen, seien nun alle Größen bis auf m1 bekannt. Wenn man aber die Umlaufzeit T und die Entfernung r eines Satelliten eines Zentralkörpers kennt, kann man m1 bestimmen.
Ein Satellit bewegt sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit auf einer Kreisbahn um seinen Zentralkörper. Somit ist seine Winkelgeschwindigkeit des Radius nach Definition

Bei der hier vorhandenen vollständigen Kreisbewegung gilt also

"Bei gleichförmigen Kreisbewegungen erfährt ein Massenpunkt, der einen Kreis mit konstanter Winkelgeschwindigkeit durchläuft, ständig eine Beschleunigung zur Kreismitte hin"(7). Die Zentripetalbeschleunigung

Durch das 2. Newton-Axiom F=m2a und unter Berücksichtigung der Formeln für die Winkelgeschwindigkeit und Zentripetalbeschleunigung wirkt also die für die Kreisbewegung erforderliche Radialkraft

Dessen Betrag ebenfalls durch die Gravitationskraft

gegeben ist. Folglich kann man beide Kräfte gleichsetzen und nach m1 auflösen:

Da es sich, wie schon gesagt, bei der Bewegung eines Satelliten um einen Zentralkörper um eine vollständige Kreisbewegung handelt, gilt somit:

Wenn man dieses Verfahren auf die Erde bezieht und die Umlaufzeit

TM=27,32d=2360448s und die mittlere Entfernung

rM=3,844108m des Mondes nimmt, folgt für die Erdmasse mE daraus:

Der Literaturwert beträgt mE=5,971024kg. Die Abweichung kommt wahrscheinlich durch die gerundeten Zehnerpotenzen zustande.
Wenn man nun eine Probe durchführen, und ein durch das oben genannte Verfahren bestimmen möchte, wobei man den Literaturwert Wert für mE und den mittleren Erdradius rE=6,371106m benutzt, erhält man die Gravitationsfeldstärke, bzw. die Fallbeschleunigung , die an der Erdoberfläche herrscht.

 

3. Praktischer Teil

3.1 Versuch zur Bestimmung von

    3.1.1 Versuchsbeschreibung

    3.1.1.1 Die Gravitationsdrehwaage

    Die Gravitationskonstante kann nur bestimmt werden, indem man die Anziehungskraft zweier bekannter Körper misst. Um diese Messung durchführen zu können entwickelte der englische Physiker H. Cavendish im Jahre 1798 die Gravitationsdrehwaage und bestimmte erstmals die Gravitationskonstante.

    An beiden Enden eines Stabes sind kleine Kugeln der Masse m1 angebracht. Der Stab ist innerhalb eines Gehäuses leicht beweglich und horizontal an einem Torsionsband befestigt, so dass er um eine vertikale Achse drehbar ist. Oberhalb des Stabes ist am Torsionsband ein Spiegel angebracht, der einen auf ihn gerichteten Lichtstrahl als Lichtzeiger reflektiert, an dem jede Drehung des Torsionsbandes vergrößert beobachtet werden kann. Unterhalb des Gehäuses befindet sich ein Schwenkarm, an dessen Enden wiederum zwei große Bleikugeln der Masse m2 aufliegen, die durch umschwenken des Armes in die Nähe der kleinen Kugeln innerhalb des Gehäuses gebracht werden können.
    Vor Beginn des Versuches muss die Drehwaage, das heißt der sich in dem Gehäuse befindlichem Stab, zur völligen Ruhe gekommen sein. Die großen Kugeln auf dem Schwenkarm befinden sich nun in Ausgangsstellung. Erst wenn die Ruhelage erreicht ist, kann die Messung gestartet werden, indem man vorsichtig die großen Kugeln durch schwenken des Armes in die Nähe der kleinen bringt. Die gesamte Messung wird bis zum erreichen der Endlage durchgeführt.
    Aufgrund der Gravitationskraft, die die kleinen Kugeln innerhalb des Gehäuses von den großen auf dem Schwenkarm erfahren, dreht sich der Stab nach einigen Schwingungen in der Zeit T um den Winkel .

    3.1.1.2 Der IR-Positionsdetektor

    Die Messungen mit der Gravitationsdrehwaage nach der Endauschlagsmethode, wie dies in Kapitel 3.1.2 getan wird, erfordern ein punktweises Erfassen der Schwingungen des Lichtzeigers.
    Da die Zeit, in der die Gravitationsdrehwaage den Endausschlag erreicht, sehr lang ist, wird die Registrierung des Lichtzeigers durch einen Positionsdetektor automatisiert.
    An einem Schnurrzug ist ein einer Halterung ein Phototransistor befestigt, der über zwei Umlenkrollen an einem Motor und ein Präzisionspotentiometer angelegt ist. Somit kann der Motor den Phototransistor in der Horizontalen bewegen und verändert gleichzeitig die Einstellung des Potentiometers. Wenn sich der Phototransistor genau in der Hell-Dunkel-Grenze des von der Gravitationsdrehwaage auf ihn fallenden Lichtzeigers befindet, und sich aufgrund der Bewegung des Torsionssystem im inneren der Drehwaage der Lichtzeiger von ihm weg bewegt, bewirkt dies eine Veränderung des Stromes. Dadurch wird der Motor gesteuert, der den Phototransistor wieder über den Schnurrzug auf die Hell-Dunkel-Grenze ausrichtet. Durch die Bewegung des Bandes wird dann, wie gesagt, die Einstellung des Präzisionspotentiometers geändert, an dem eine Spannung abfällt, die somit proportional zur Bewegung des Lichtzeigers ist.
    An dem Ausgang des Potentiometers wird dein T-Y-Schreiber und das Interface eines Computers angeschlossen, die Während des gesamten Versuches automatisch alle Messwerte aufnehmen.

    3.1.1.3 Herleitung der Berechnung von

    Bei der Messung mit der Gravitationsdrehwaage stehen einem folgende Größen zur Verfügung:
    m1 ... Masse der großen Kugeln
    b ... Abstand zwischen den Mittelpunkten der Kugeln in Endlage
    d ... Abstand der kleinen Kugeln vom Torsionsfaden
    L ... Entfernung zwischen Spiegel der Drehwaage und dem Phototransistor
    S ... Zurückgelegte Strecke des Lichtzeigers
    T ... Schwingungsdauer des Pendels
    Daraus eine Formel zur Berechnung von herzuleiten ist Ziel dieses Kapitels.

    Auf den Torsionsfaden wirkt das Drehmoment M1=2Fd. Auf Grund seiner durch M1 vorgerufenen Verdrillung übt der Faden das Gegendrehmoment aus, wobei D die Winkelrichtgröße und der Drehwinkel des Torsionsfadens ist.
    In der Endlage der Kugeln gleichen sich M1 und M2 aus, so dass M1=M2 gilt. Daraus folgt:
    (a)
    Laut dem Gravitationsgesetz gilt für F :
    (b)
    Da der Winkel sehr klein ist, gilt:
    (c)
    Bei dieser Gleichsetzung von und tan tritt zwar eine Abweichung auf, allerdings ist diese bei einem solch kleinen Winkel so gering, dass sie keinen nennenswerten Einfluss auf das Ergebnis für hat.

    Die Winkelrichtgröße errechnet man mit Hilfe der Schwingungsdauer T des Systems mit . Dabei bezeichnet I das Trägheitsmoment des schwingenden Systems, was in diesem Fall mit dem der beiden kleinen Kugeln gleichzusetzen ist. Für I gilt I=2m2d². Daraus ergibt sich für D:
    (d)

    Setzt man die aus den Gleichungen (c),(d) und (a) gewonnenen Ergebnisse für die entsprechenden Größen in Gleichung (b) ein so erhält man

    (e)

    Leider reicht die Gleichung (e) alleine nicht aus, um so genau wie möglich zu berechnen, da der daraus resultierende Wert einem systematischem Fehler unterliegt. Jede der beiden kleinen Kugeln wird nämlich nicht nur von der ihnen näher liegenden, sondern auch von der entfernteren großen Kugel angezogen. Um diesen Fehler zu korrigieren muss man sich überlegen, in welchem Maße die Kraft Fnah, die in Richtung der näheren Kugeln wirkt, durch die Kraft Ffern, die in Richtung der entfernteren Kugeln wirkt, beeinflusst wird.

    Nach dem Gravitationsgesetz gilt

    und

    Ffern hat eine Komponente ffern, die entgegengesetzt zu Fnah wirkt. Diese berechnet man mit


    wobei k der Bruchteil ist, um den Fnah zu klein beobachtet wird.
    Folglich muss man den mit (1+k) multiplizieren.(8)

     

    3.1.2 Versuchsprotokoll

    Unsere Arbeitsgruppe begann am 9.11.2000 um 17:00 Uhr die Durchführung des für unsere Facharbeit notwendigen Experiments zu Bestimmung der Gravitationskonstanten . Dazu wurde ein Versuch mit der Gravitationsdrehwaage nach Cavendish durchgeführt. Für die gesamte Durchführung waren Treffen an Donnerstagen der folgenden Wochen geplant. Am 23.11.2000, also nach drei Versuchstagen, schlossen wir unser Experiment ab.

    Am ersten Versuchstag, dem 9.11.2000, machten wir uns zunächst mit den benötigten Geräten vertraut, nachdem wir fast alle Beschreibungen der Geräte gelesen hatten, sofern sie uns vorlagen. Nachdem uns die Bedienung der Geräte bekannt war, begannen wir mit dem Versuchsaufbau. Dazu suchten wir uns einen fest stehenden, möglichst stoßgedämpftem Tisch, auf dem wir dann die empfindliche Gravitationsdrehwaage stellten. Neben die Gravitationsdrehwaage positionierten wir eine Lampe mit Schlitzblende, die den Lichtzeiger erzeugen sollte, wenn der Lichtstrahl auf den Spiegel der Gravitationsdrehwaage ausgerichtet wird. Auf einem zweiten, rollbaren Tisch, versammelten wir einen T-Y-Schreiber und einen Positionsdetektor. Der Phototransistor des Positionsdetektors musste sich möglichst parallel zum Spiegel der Drehwaage befinden, so dass er die gesamten Bewegungen des Lichtzeigers registrieren konnte.

    Damit waren wir vor das erste wirkliche Problem gestellt, da für das von einem ehemaligem Schüler selbst gebaute Gerät keine genauen Beschreibungen vorhanden waren und wir keine Angaben hatten, wie der Phototransistor an dem Schnurrzug befestigt werden sollte. Dazu entwickelten wir folgende Lösung: Wir befestigten an der Seite des Tisches an beiden Enden eine Stativstange, an denen jeweils eine Umlenkrolle angebracht war. In die Mitte beider Stangen stellten wir den Kasten des Positionsdetektors. Nun konnten wir den Schnurrzug über beide Umlenkrollen an den Stativstangen und um dem Motor, sowie dem Präzisionspotentiometers legen. Damit das Band des Schnurrzuges einwandfrei geführt werden konnte, und nicht von der Motor- herunter rutschte, wickelten wir es doppelt um beide Rollen herum. Nachdem wir die Umlenkrollen an den Stativstangen in gleicher Höhe fest angebracht hatten, war es möglich, den Phototransistor in der Horizontalen von einer Umlenkrolle zu anderen zu bewegen.
    Bei diesem Aufbau beachteten wir allerdings nicht das Potentiometers, weil wir sein Rädchen für eine Umlenkrolle zur Führung zum Motor hielten, die durch unseren erfundenen Aufbau überflüssig zu sein schien.
    Nachdem wir, ohne den Fehler zu bemerken, den T-Y-Schreiber am Positionsdetektor angeschlossen und den Lichtstrahl ausgerichtet hatten, begannen wir einen Probedurchlauf mit der unausgependelten Gravitationsdrehwaage, um unseren Aufbau zu testen. Dabei konnten natürlich keine Ausschläge des T-Y-Schreiber verzeichnet werden. Am frühen Abend dieses Donnerstages wies uns dann Herr Lenze auf unseren Fehler hin.

    Am 16.11.2000 bauten wir dann den Versuch komplett, auch unter Beachtung des Potentiometers auf. Damit war der Aufbau zum durchführen des Experiments gegeben. Dennoch nahmen wir zusätzlich den Computer als zweites Messgerät dazu, und schlossen diesen ebenfalls an den Positionsdetektor an. Nachdem alle Geräte eingeschaltet und das Programm zum Aufnehmen der Messwerte am Computer gestartet war, begannen wir den ersten Probedurchlauf um den besten Messbereich am Computer und T-Y-Schreiber herauszubekommen. Dadurch erwies sich gleichzeitig der von uns gewählte Versuchsaufbau als geeignet.
    Nach einigen Probemessungen waren wir uns über dem Messbereich und die Bedienung aller Geräte im klaren, wobei allerdings wieder der selbstgebaute Positionsdetektor Probleme bereitete. Diesmal war die Rolle am Motor abgesprungen, aber nachdem wir sie wieder gefunden hatten stellten wir fest, dass sie sehr leicht wieder angebracht werden konnte.
    Dasselbe passierte während der Unterrichtseinheit am Freitag, dem 17. 11., die uns zum weiteren Experimentieren zur Verfügung gestellt wurde, so dass bis zu diesem Zeitpunkt keine Messreihe durchgeführt werden konnte.

    Das gelang uns erst am letzten Versuchstag, dem 23.11.2000. Zuvor hatten wir am Mittag nach der fünften Stunde die Gravitationsdrehwaage entarretiert, so dass sie sich bis zum Abend in der Ruhelage befand. Jetzt brauchten wir nur noch die großen Kugeln der Drehwaage umschwenken und die Messung zu starten, die Voraussichtlich ungefähr eine Stunde dauern sollte. In der Tat dauerte sie in etwa 75 Minuten, wobei nach zehn Minuten schon der T-Y-Schreiber als Messgerät ausfiel und keine Aufzeichnungen mehr machte. Ab jetzt wurden die Messungen also nur noch mit dem Computer durchgeführt, wobei wir feststellten, das dieser, wahrscheinlich aufgrund eines defekten Interface, Messwerte nach unten streute, die nicht zu gebrauchen waren. Diese Tatsache erwies sich, zwar als zeitraubend, aber im Endeffekt eher als unerheblich für die Auswertung des Versuches.

    Als die Gravitationsdrehwaage ihre Entlage erreichte und wir alle erforderlichen Werte bestimmt hatten, war unser Versuch fertig durchgeführt.
    Für die Auswertung mit der Tabelle mit den gestreuten Messwerten schrieben wir ein Computerprogramm, dass diese Werte herausfilterte und eine Tabelle erstellte die nur Richtige Werte enthielt. Mit dieser Tabelle war es möglich, auf dem Computer den Graphen erstellen, der die Schwingungen zeigte, die der T-Y-Schreiber hätte aufzeichnen sollen.

    3.1.2.1 Aufbau

    Material: Gravitationsdrehwaage, T-Y-Schreiber, IR-Positionsdetektor, Stativstangen, Umlenkrollen, Lampe mit Sammellinse und Schlitzblende, Kabel, 1 Schalter, Windows-PC mit Leybold CASSY

    Aufbau:Die Gravitationsdrehwaage wird auf einem fest stehenden Tisch aufgestellt.
    Auf einem zweiten Tisch, werden zwei Umlenkrollen an den Stativstangen angebracht, über die der Schnurzug des Sensors vom IR-Positionsdetektor so verläuft, dass er sich in der Horizontale in beide Richtungen bewegen kann. Der Schnurrzug des Sensor liegt nun in etwa gleicher Höhe gegenüber des Spiegels in der Gravitationsdrehwaage.
    Eine Lampe wird nun so auf den Spiegel gerichtet, dass die Hell-Dunkel-Grenze des Lichtzeigers genau auf den Sensor des Positionsdetektors liegt.
    An den Ausgangs des am Detektor angeschlossenen Drehpotentiometers wird sowohl der T-Y-Schreiber, als auch der das Interface des Computers angeschlossen. Die Messung am Computer erfolgt mit dem Programm CASSY der Firma Leybold.

    3.1.2.2 Ergebnisse der Messung

    Um zu berechnen braucht man folgende Größen:
    m1 ... Masse der großen Kugeln
    b ... Abstand zwischen den Mittelpunkten der Kugeln in Endlage
    d ... Abstand der kleinen Kugeln vom Torsionsfaden
    L ... Entfernung zwischen Spiegel der Drehwaage und dem Phototransistor
    S ... Zurückgelegte Strecke des Lichtzeigers
    T ... Schwingungsdauer des Pendels
    b=0,047m und d=0,05m sind Gerätekonstanten, L ist aufbauspezifisch und m1 lässt sich mit Hilfe einer Waage bestimmen. S und T ergeben sich aus den aufgenommenen Messwerten.
    Für m1 ergab sich eine Masse von 1,487kg und für L eine Länge von 1,185m.

    Die Bewegung des Lichtzeiger wurde nach etwa 75 Minuten genaugenommen nach 4508,01 Sekunden abgebrochen, da es einerseits zu spät wurde und sich der Zeiger andererseits auch nur noch unerheblich bewegte.
    Die Messreihe war, wie schon angesprochen, höchstwahrscheinlich aufgrund eines defekten Interfaces, mit vielen unbrauchbaren Werten versetzt, die entfernt werden mussten. Dieses geschah mit Hilfe eines selbstgeschriebenen Computerprogramms, welches die Werte mit einer zu großen Abweichung aussortiert. Der Quellcode dazu ist im Anhang zu finden.
    Nach dem "Säubern" der Messwerte, musste die aufgezeichnete Ausgangs-Spannungsänderung des Positionsdetektors in die vom Phototransistor, also dem Lichtzeiger zurückgelegte Strecke umgerechnet werden. Der dazu benötigte Umrechnungsfaktor u ergibt sich aus dem Umfang des Drehpotentiometers und der bei einer kompletten Umdrehung des Potentiometers auftretenden Spannungsänderung . Der Durchmesser D des Drehpotentiometers konnte leider nur recht ungenau mit einem Lineal gemessen werden, da keine besseren Hilfsmittel zur Verfügung standen, bzw. funktionstüchtig waren. Für D und ergeben sich folgende Werte:
    D=0,037m und =0,57V

    Somit konnte man u berechnen:

    Danach wurden die Messwerte in Microsoft Excel übernommen und jeweils mit u multipliziert. Des weiteren war noch eine kleine Nullpunktkorrektur nach oben erforderlich.
    Aus der nun fertigen Wertetabelle ergab sich folgender Graph:

    Für die Berechnung von T und S wurden nur die größten Messwerte an den jeweiligen Stellen benutzt, da der Graph an der oberen Grenze am "glättesten" verläuft.
    Da es sich hierbei um eine harmonische Schwingung handelt, ist T konstant. T ist also die Zeitdifferenz zwischen zwei aufeinander folgenden Maxima des Graphen. Um eine hohe Genauigkeit zu erzielen, bildet man das arithmetische Mittel einiger Einzelwerte von T. Nach Anwendung dieses Prinzips ergab sich T=652,5s.
    Um S zu berechnen braucht man den Mittelwert der gedämpften Schwingung. Dazu berechnet man das arithmetische Mittel der Summe der arithmetischen Mittel der ersten drei Maxima (S1, S2, S3) und der ersten zwei Minima (s1, s2), also

    Daraus ergab sich S=0,368m.

    Alle Werte zusammengefasst:
    b=0,047m
    d=0,05m
    m1=1,487kg
    L=1,185m
    T=652,5s
    S=0,368m

    Wie in Kapitel 3.1.1.3 lässt sich daraus berechnen:

    Der Korrekturfaktor ist für b=0,047m und d=0,05m
    (1+k)=1,077

    Somit ist das Endergebnis:

    Die Abweichung vom Literaturwert beträgt 13,66%.

     

    3.1.3 Mögliche Fehlerquellen

    Die Abweichung von 13.66% kann zwei verschiedene Gründe haben. Zunächst einmal den, dass es wahrscheinlich Erschütterungen gab, die die äußerst sensibele Gravitationsdrehwaage beeinflusst haben.
    Der andere Grund ist der, dass durch die Streuung der Messwerte nach unten des defekten Interfaces und deren Korrektur die Messwerte verfälscht wurden.

 

3.2 Versuch zur Bestimmung von g

    Auf alle Körper die sich in der Nähe der Erde befinden, wird eine Kraft ausgeübt, die auf den Erdmittelpunkt gerichtet ist. Sie werden von der Erde angezogen. Man sagt auch: "Sie fallen herunter". Die aus der Gravitationskraft resultierende Bewegung kann beobachtet werden. Dabei handelt es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung in Richtung Erdmittelpunkt. Die Beschleunigung, die fallende Massen von der Erde erfahren heißt Fallbeschleunigung, dessen Betrag gleich dem Betrag der Gravitationsfeldstärke der Erde ist, und wird mit g bezeichnet.
    Zur Bestimmung von g lässt man eine Kugel eine bestimmte Strecke s fallen und misst die Zeit t, die sie für das fallen dieser bestimmten Strecke benötigt.
    Nun erfolgt die Berechnung von g mit Hilfe des Weg-Zeit-Gesetzes der gleichmäßig beschleunigten Bewegung.

    Bei dem Versuch wird die Kugel von einem Elektromagneten aus, auf eine Schalterfläche fallen gelassen, die so in Ausstellung gebracht wird. Es wird die Zeit gemessen, die die Kugel braucht, vom Ausschalten des Elektromagneten auf den Schalter zu fallen. Während dieser Zeit ist die Uhr eingeschaltet.

    Aufbau:
    An einer senkrecht aufgestellten Stativstange wird an ein Elektromagnet angebracht. Unterhalb des Magneten wird in der Entfernung s die Schalterfläche S2 angebracht. Der Elektromagnet ist in einem Stromkreis mit dem Schalter S1 geschaltet. Die Uhr befindet sich in einem zweiten Stromkreis, der durch das Umlegen von S1 geschlossen wird.

    Durchführung:
    Eine Metallkugel wird von dem eingeschalteten Elektromagneten gehalten. Durch umlegen von Schalter S1 wird der Elektromagnet ausgeschaltet und gleichzeitig die Uhr eingeschaltet. Nun fällt die Kugel frei nach unten, bis sie auf die Schalterfläche S2 auftrifft und somit die Uhr abschaltet, die in diesem Augenblick die Zeit t anzeigt.

    Es können verschiedene Messreihen durchgeführt werden, wobei die Größe s variiert wird.
    Für die Beschleunigung a müsste durch die oben genannte Gleichung immer der gleiche Wert errechnet werden, der der Fallbeschleunigung der Erde entsprechen muss. Falls dies nicht so ist, können Ungenauigkeiten beim Abmessen der Strecke s vorliegen. Mit der hier verwendeten Schaltungen treten ebenso Ungenauigkeiten bei der Zeitmessung auf. Während der Zeit in der man den Schalter umlegt und so die Uhr in Gang setzt, legt die Kugel schon eine bestimmte Strecke zurück, die in der Rechnung hier nicht berücksichtigt wird.
    Bei der ganz genauen Durchführung kann eine Fallbeschleunigung von a=9,81 m/s2 errechnet werden.

 

4. Sonstiges

4.1 Sir Isaac Newton

Isaac Newton wurde am 4.1.1643 in Wollsthorpe bei Grantham, Lindolnshire, geboren und starb am 31.3.1727 in Kensington. Newton war Physiker, Mathematiker und Astronom und erschloss neue Erkenntnisse in den Bereichen Mechanik, Optik und Differential- und Integralrechnung, und gilt als bedeutendster Wissenschaftler der Neuzeit.
Nach dem Besuch einer Höheren Schule studierte Newton ab 1661 an der Universität von Cambridge, wo er 1668 seinen Magistertitel erhielt. Während dieser Zeit beschäftigte er sich überwiegend mit Mathematik und Naturphilosophie und wurde schon 1669 Professor und somit Nachfolger seines Lehrers an dieser Universität.
Bereits 1666 stellte Newton Überlegungen über die Mechanik und die allgemeine Schwerkraft an und stellte das Gravitationsgesetz auf. 1684 nahm er dieses Studium wieder auf und veröffentlichte 1687 in seiner Schrift "Philosophia naturalis principia mathematica" die drei Newton'schen Axiome und das allgemeine Gravitationsgesetz.

Mit seinen drei Axiomen begründete Newton die klassische Mechanik. "Sie lauten im einzelnen:

  1. jeder Körper beharrt solange in seinem Zustand der Ruhe oder der geradlinigen, gleichförmigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, seinen Zustand zu ändern.

  2. Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung nach der die Kraft wirkt."(F=ma)

  3. Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich und von entgegengesetzter Richtung (actio = reactio); z.B. der fallende Stein zieht die Erde ebenso stark an wie die Erde den Stein"(8)

Im gleichen Jahr der Veröffentlichung von "Principia" begann Newton sich politisch zu engagieren, indem er sich an der Leitung des Cambridger Widerstandes beteiligte.1688 wurde er schließlich von seiner Universität zu einem ihrer Vertreter im britischem Parlament gewählt.
Ab 1696 wohnte Newton in London. 1703 wurde er von der Royal Society zum Präsidenten auf Lebenszeit gewählt.
Neben der Mechanik brachte Newton ebenfalls auf dem Gebiet der Optik bedeutende Entwicklungen. Er erforschte das Licht beim Durchgang durch Materie, entdeckte so das Farbspektrum und zeigte gleichzeitig dass das weiße Sonnenlicht eine Bündelung von verschiedenen Strahlen ist, wobei jeder Strahl eine andere Wellenlänge hat. Diesen Nachweis zeigte er, indem er das Sonnenlicht mit Hilfe eines Prismas in seine einzelnen Farben zerlegte.

 

Literaturverzeichnis

(1) Dr. Oskar Höfling, Physik Band II Teil 1(Ferd. Dümmler Verlag, Bonn 1985)

(2) Internet http://physics.nist.gov/cuu/Constants/index.html; Suche nach "Gravitation"

(3) Joachim Grehn(Hg), Viehweg Physik, für den kursorientierten Unterricht in der gymnasialen Oberstufe, Teil 2: Gravitation, Mechanische Schwingungen und Wellen, Elemente der Wärmelehre (Schulverlag Viehweg GmbH, Düsseldorf 1978)

(4) Leybold(Hg), Physikalische Handblätter Mechanik-Gravitation: Das Gravitationsgesetz und die Gravitationskonstante II, Endausschlagsmethode, DK 531.51;b

Wörtliche Zitate:

(5) Hanne Müller-Arnke, Kolleg-Text, Gravitation und Weltraumfahrt (Schulverlag Viehweg GmbH, Düsseldorf 1977) S.26

(6) Dr. Oskar Höfling, Physik Band II Teil 1 (Ferd. Dümmler Verlag, Bonn 1985) S.151

(7) Joachim Grehn (Hg), Metzler Physik (J.B. Metzlersche Verlagsbuchhandlung und Carl Ernst Poeschel Verlag GmbH, Stuttgart 1979) S.43

(8) Bertelsmann Verlag (Hg), Bertelsmann Lexikon Band 7 (Miv-Phyo) (Bertelsmann Lexikon Verlag,Gütersloh 1981) S.145

 

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